Question

5．已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，⊙O₁過以O(shè)B為邊長的正方形OBCD的四個頂點(diǎn)，兩動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動，其中動點(diǎn)P以每秒$\sqrt{2}$個單位長度的速度沿A→B→A運(yùn)動后停止；動點(diǎn)Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動，AO₁交y軸于E點(diǎn)，P、Q運(yùn)動的時間為t（秒）．
（1）求E點(diǎn)的坐標(biāo)和S_△ABE的值；
（2）試探究點(diǎn)P、Q從開始運(yùn)動到停止，直線PQ與⊙O₁有哪幾種位置關(guān)系，并求出對應(yīng)的運(yùn)動時間t的范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意容易知道O₁的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AE的解析式，然后求出E的坐標(biāo)，最后求出S_△ABE；
（2）容易知道當(dāng)Q運(yùn)動到O點(diǎn)時PQ與圓相切，此時t=1，所以可以確定其他位置的t的值．

解答 解：（1）由題意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O₁（1，1），
設(shè)AO₁的直線的解析式為y=kx+b，則有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=$\frac{2}{3}$，k=$\frac{1}{3}$，∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴E（0，$\frac{2}{3}$），
∴BE=$\frac{4}{3}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$OA•BE=$\frac{4}{3}$；

（2）直線PQ與⊙O₁有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交；
∵動點(diǎn)P沿A→B→A運(yùn)動后停止；動點(diǎn)Q沿A→O→D→C→B運(yùn)動，
∴根據(jù)切線的定義，如果PQ與⊙O₁相切，切點(diǎn)只能是O、D、C、B中的一個．
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)移到B點(diǎn)時，由于OA=OB=2，∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴t=2$\sqrt{2}$$÷\sqrt{2}$=2，
當(dāng)t=2時，點(diǎn)Q從A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)，當(dāng)?shù)竭_(dá)D點(diǎn)時，點(diǎn)P在B點(diǎn)處，顯然不合題意，舍去，
當(dāng)點(diǎn)Q在O點(diǎn)時，如圖①，此時t=2÷2=1，
連結(jié)O₁Q、PQ，
∴PA=$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$AB，
∵QA=QB，
∴∠PQB=$\frac{1}{2}∠$AQB=45°，
∵O₁是正方形ODCB的中心，
∴∠O₁QB=45°，
∴∠PQO₁=90°，
∴PQ為⊙O₁的切線，此時t=1；
②當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)移到A點(diǎn)時，點(diǎn)Q從D點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，
顯然，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C處時，PQ與⊙O₁相交，
當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到B點(diǎn)時，點(diǎn)P回到了點(diǎn)A，如圖②，
同理可證此時PQ與⊙O₁相切，易得t=4
綜上，當(dāng)t=1或t=4時，PQ與⊙O₁相切；
故由題意可知：當(dāng)PQ與⊙O₁相離，0＜t＜1；
當(dāng)PQ與⊙O₁相切時，t=1或t=4；
當(dāng)PQ與⊙O₁相交時，1＜t＜4．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：圓上的點(diǎn)到圓心的距離都等于圓的半徑；待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法；熟練掌握正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．