Question

8．△ABC與△CDE是共頂點的等邊三角形．直線BE與直線AD交于點M，點D、E不在△ABC的邊上．
（1）當(dāng)點E在△ABC外部時（如圖1），寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系．
（2）若CD＜BC，將△CDE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點E由△ABC的外部運動到△ABC的內(nèi)部（如圖2）．在這個運動過程中，∠AMB的大小是否發(fā)生變化？若不變，在圖2的情況下求出∠AMB的度數(shù)，若變化，說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)B、C、D三點在同一條直線上，且BC=CD時，寫出BM，ME與BC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠DCE，轉(zhuǎn)化出∠BCE=∠ACD，從而得出△BCE≌△ACD即可；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠DCE，轉(zhuǎn)化出∠BCE=∠ACD，從而得出△BCE≌△ACD得出∠EBC=∠DAC，再利用三角形的內(nèi)角和即可；
（3）先判斷出∠BFC=90°，接著判斷出BE=2BF，利用勾股定理找出BF與BC的關(guān)系即可．

解答 解：（1）AD=BE，
理由：
∵△ABC與△CDE是共頂點的等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD；
（2）不變，∠AMB=60°，
理由：∵△ABC與△CDE是共頂點的等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△ADC，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠EBC+∠ABM=60°
∴∠MAC+∠ABM=60°，
∴∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=60°．
（3）如圖3，

∵當(dāng)B、C、D三點在同一條直線上，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠BCE=120°，
∵△ABC與△CDE是共頂點的等邊三角形，且BC=CD，
∴BC=CE，
∴∠CBE=∠BEC=30°，
∵∠BCF=60°，
∴∠BFC=90°，
∵BC=EC，
∴BE=2BF，
在Rt△BFC中，∠BCF=30°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴BE=2BF=$\sqrt{3}$BC，
∵BE=BM+ME，
∴BM+ME=$\sqrt{3}$BC．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出△BEC≌△ADC．