如圖,以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D是AE的中點(diǎn),連接OD并延長交⊙O于點(diǎn)M,∠BOE=60°,cosC=
1
2
,BC=2
3

(1)求∠A的度數(shù);
(2)求證:BC是⊙O的切線;
(3)求弧AM的長度.
考點(diǎn):切線的判定
專題:
分析:(1)根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出∠A的度數(shù).
(2)要證BC是⊙O的切線,只要證明AB⊥BC即可.
(3)根據(jù)垂徑定理求得∠AOM=60°,運(yùn)用三角函數(shù)的知識求出OA的長度,即可求得弧AM的長度.
解答:解:(1)∵OA=OE,
∴∠A=∠OEA,
∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A,
∴∠A=
1
2
∠BOE=
1
2
×60°
=30°;

(2)在△ABC中,∵cosC=
1
2
,
∴∠C=60°,
又∵∠A=30°,
∴∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
∵AB為直徑,
∴BC是⊙O的切線;

(3)∵點(diǎn)D是AE的中點(diǎn),
∴OM⊥AE,
∵∠A=30°,
∴∠AOM=60°,
在RT△ABC中,tanC=
AB
BC

∵BC=2
3
,
∴AB=BC•tanC=2
3
×
3
=6,
∴OA=
AB
2
=3,
∴弧AM的長=
60π×3
180
=π.
點(diǎn)評:本題綜合考查了三角函數(shù)的知識、切線的判定以及弧形的長度.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
練習(xí)冊系列答案
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1
2
,0,2.5,-4中,
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