已知m，n是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個正實數(shù)根，求證：以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4．
分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系求得m+n=-
b
a
，mn=
c
a
；從而推知正方形、長方形的面積；然后根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得它們的比值即可．
解答：證明：∵m，n是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個正實數(shù)根，
∴m+n=-
b
a
，mn=
c
a
，
∴以m+n為邊長的正方形面積S正方形=（m+n）2=(
b
a
)2 ，a、c同號；
以m、n為邊長的矩形面積S矩形=mn=
c
a
，
∴S正方形：S矩形=b2：ac；
又關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個正實數(shù)根，
∴b2-4ac≥0，即b2≥4ac，∴
b2
ac
≥4，
即S正方形：S矩形=b2：ac≥4，
∴以m+n為邊長的正方形面積與以m、n為邊長的矩形面積之比不小于4．
點評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系．在根據(jù)一元二次方程的根的判別式求b2與ac的比值時，要注意需要討論ac的符號．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知x1、x2是關于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足x1+x2=m2，則m的值是（　�。�
A、-1B、3C、3或-1D、-3或1

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b是關于x的方程x2-（2k+1）x+k（k+1）=0的兩個實數(shù)根，則a2+b2的最小值是
 
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知a、b是關于x的一元二次方程kx2+2（k-3）x+k+3=0的兩個實數(shù)根，其中k為非負整數(shù)，點A（a，b）是一次函數(shù)y=（k-2）x+m與反比例函數(shù)y=
nx
的圖象的交點，且m、n為常數(shù)．
（1）求k的值；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南通一模）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根，則
x
2
1
+
x
2
2
-x1x2=
7
7
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料，并解答問題：
在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，如果b2-4ac≥0時，那
么它的兩個根是x1=
-b+
b2-4ac
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
所以x1+x2=
(-b+
b2-4ac
)+(-b-
b2-4ac
)
2a
=
-2b
2a
=-
b
a
x1x2=
(-b+
b2-4ac
)•(-b-
b2-4ac
)
2a•2a
=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
．
由此可見，一元二次方程的兩根的和、兩根的積是由一元二次方程的系數(shù)a、b、c確定的．運用上述關系解答下列問題：
（1）已知一元二次方程2x2-6x-1=0的兩個根分別為x1、x2，則x1+x2=
3
3
，x1x2=
-
1
2
-
1
2
，
1
x1
+
1
x2
=
-6
-6
．
（2）已知x1、x2是關于x的方程x2-x+a=0的兩個實數(shù)根，且
x
2
1
+
x
2
2
=7，求a的值．

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