Question

如圖，平面直角坐標系中，已知點A（a-1，a+b），B（a，0），且

a+b-3

+（a-2b）²=0，C為x軸上點B右側(cè)的動點，以AC為腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直線DB交y軸于點P．
（1）求證：AO=AB；
（2）求證：OC=BD；
（3）當(dāng)點C運動時，點P在y軸上的位置是否發(fā)生改變，為什么？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)算術(shù)平方根和平方數(shù)的非負性質(zhì)即可求得a、b的值，即可求得A，B點坐標，即可求得OA，AB長度，即可解題；
（2）易證∠OAC=∠BAD，即可證明△OAC≌△BAD，可得OC=BD，即可解題；
（3）點P在y軸上的位置不發(fā)生改變．理由：設(shè)∠AOB=∠ABO=α，易證∠OBP是定值，根據(jù)OB長度固定和∠POB=90°，即可解題．

解答：證明：（1）∵

a+b-3

+（a-2b）²=0，

a+b-3

≥0，（a-2b）²≥0，
∴

a+b-3

=0，（a-2b）²=0，
解得：a=2，b=1，
∴A（1，3），B（2，0），
∴OA=

12+32

=

10

，
AB=

(2-1)2+32

=

10

，
∴OA=AB；
（2）∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，即∠OAC=∠BAD，
在△OAC和△BAD中，

OA=AB ∠OAC=∠BAD AC=AD

，
∴△OAC≌△BAD（SAS），
∴OC=BD；
（3）點P在y軸上的位置不發(fā)生改變．

理由：設(shè)∠AOB=∠ABO=α，
∵由（2）知△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=α，
∵OB=2，∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α為定值，
∵∠POB=90°，
∴OP長度不變，
∴點P在y軸上的位置不發(fā)生改變．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△OAC≌△BAD是解題的關(guān)鍵．