Question

【題目】如圖1，在中，，以為弦的與相切于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；

（2）將中以下部分沿直線向上翻折．

①如圖2，若翻折后的弧過(guò)中點(diǎn)，并交于點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

②如圖3，若，且翻折后的弧恰好過(guò)點(diǎn)，則的半徑為________．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，見(jiàn)解析，②2

【解析】

（1）連接OB，OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，結(jié)合∠ABO=90°，即可得到結(jié)論；

（2）①連接DE，BE，由圓周角定理得，從而得，進(jìn)而得DE∥BC，由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得DE是ABC的中位線，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②連接AO，BO，CO，設(shè)AO交于點(diǎn)O′，易得是所在圓的直徑，記交弧于點(diǎn)，兩圓半徑相等，那么點(diǎn)就是所在的圓的圓心，可得O′BO是等邊三角形，再利用解直角三角形，即可得到答案．

（1）連接OB，OC，

∵AB=AC，OB=OC，

∴∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，

∴∠ABO=∠ACO，

∵AB是的切線，

∴∠ABO=90°，

∴∠ACO=90°，

∴AC是的切線；

（2）①，理由如下：

連接DE，BE，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴，

∴，即：，

∴∠BED=∠CBE，

∴DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED，

∴AD=AE，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴AD=AB，

∴AE=AC，

∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∴DE是ABC的中位線，

∴DE=BC．

綜上所述：DE∥BC，DE=BC；

②連接AO，BO，CO，設(shè)AO交于點(diǎn)O′，

∵翻折后的弧恰好過(guò)點(diǎn)，∠ABO=90°，

∴AO是所在圓的直徑，

∵所在圓與所在圓是等圓，

∴OO′既是所在圓的半徑，也是所在圓的半徑，

∴點(diǎn)O′是所在圓的圓心，

∴O′B=O′O=OB，

∴O′BO是等邊三角形，即∠AOB=60°，

∴在RtAOB中，AO=AB÷sin60°==4，

∴OO′=2，

即：的半徑為2．