Question

已知AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE=α．
（1）若α=60°（如圖1）探究線段AD與CE的數量關系，并加以證明；
（2）若α=120°，并且點D在線段AB上，（如圖2）則線段AD與CE的數量關系為______；（直接寫出答案）
（3）探究線段AD與CE的數量關系（如圖3）并加以證明．

Answer 1

解：（1）AD=CE．
證明：連接BC、BE，
∵AB=AC∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
同理△DBE也是等邊三角形．
∴AB=BCBD=BE∠ABC=∠DBE=60°．
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE．
∴△ABD≌△CBE．
∴AD=CE．

（2）∵∠DEB=30°=∠ACB，
∴B，E，C三點共線．
∵DE∥AC，
∴CE：AD=BE：BD．
過D作DF⊥BE于F，則BE=2BF，
∵BF：BD=cos∠B=cos30°，
∴CE：AD=2cos30°．
∴AD=CE．

（3）連接BC、BE，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
∴，∠ABC=∠DBE．
∴．
∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴．
作DH⊥BE于H，
∵DB=DE，
∴∠BDH=∠BDE=，
BE=2BH=2BD•sin∠BDH=2BD•sin．
∴．
即CE=2•AD•sin．
分析：（1）要探究線段AD與CE的數量關系，觀察圖形，猜測它們相等．而AD，CE不在同一個三角形中，因此要使AD，CE所在的三角形全等．為此連接BC、BE，證明△ABD≌△CBE，得出結論．
（2）過D作DF⊥BE于F，則BE=2BF，根據已知及三角函數即可得到結論．
（3）要探究線段AD與CE的數量關系，需使AD，CE成為相似三角形的對應邊，為此連接BC、BE，證明△ABD∽△CBE，得出AD：CE=BD：BE，在等腰△BDE中根據三角函數的定義用頂角的代數式表示BD：BE，求出結果．
點評：本題綜合考查了全等三角形及相似三角形的判定和性質．