【題目】如圖,已知在△ABP中,C是BP邊上一點,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且交BP于點E.(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)過點C作CF⊥AD,垂足為點F,延長CF交AB于點G,若AG·AB=12,求AC的長;(3)在滿足(2)的條件下,若AF∶FD=1∶2,GF=1,求⊙O的半徑及sin∠ACE的值.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3).
【解析】分析:(1)根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案;
(2)首先得出△CAG∽△BAC,進而得出,求出AC即可;
(3)先求出AF的長,根據(jù)勾股定理得:,即可得出sin∠ADB= ,利用∠ACE=∠ACB=∠ADB,求出即可.
本題解析:(1)證明:連接CD,
∵AD是⊙O的直徑,∴∠ACD=90° ∴∠CAD+∠ADC=90°。
又∵∠PAC=∠PBA,∠ADC=∠PBA, ∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90° ∴PA⊥OA。
又∵AD是⊙O的直徑,∴PA是⊙O的切線。
(2)由(1)知,PA⊥AD,又∵CF⊥AD,∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。
又∵∠PAC=∠PBA,∴∠GCA=∠PBA。
又∵∠CAG=∠BAC,∴△CAG∽△BAC。 ∴,即AC2=AGAB。
∵AGAB=12,∴AC2=48。∴AC=。
(3)設AF=x, ∵AF:FD=1:2,∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。
在Rt△ACD中,∵CF⊥AD,∴AC2=AFAD,即3x2=48。
解得;x=4。 ∴AF=4,AD=12。∴⊙O半徑為6。
在Rt△AFG中,∵AF=4,GF=2,
∴根據(jù)勾股定理得:
由(2)知,AGAB=48
連接BD,∵AD是⊙O的直徑,∴∠ABD=90°。
在Rt△ABD中,∵sin∠ADB= ,AD=12,∴sin∠ADB= 。
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB,∴sin∠ACE=.
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【題目】在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面積. 某學習小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路:
(1)請你按照他們的解題思路過程完成解答過程;
(2)填空:在△DEF中,DE=15,EF=13,DF=4,則△DEF的面積是 .
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【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移,與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q,交直線AC于點M和點N,交x軸于點E和點F.
(1)求點A、B、C的坐標;
(2)當點M和點N都在線段AC上時,連接EN,如果點E的坐標為(4,0),求sin∠ANE的值;
(3)在刻度尺平移過程中,當以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時,求點N的坐標.
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【題目】甲、乙兩輛汽車同時分別從A、B兩城沿同一條高速公路駛向C城.已知A、C兩城的距離為450千米,B、C兩城的距離為400千米,甲車比乙車的速度快10千米/時,結(jié)果兩輛車同時到達C城.求兩車的速度.
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【題目】認真閱讀下面的材料,完成有關問題.
材料:在學習絕對值時,老師教過我們絕對值的幾何含義,如表示5、3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離; ,所以表示5、﹣3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離; ,所以表示5在數(shù)軸上對應的點到原點的距離.一般地,點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,那么A、B之間的距離可表示為.
問題(1):點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1,那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為 (用含絕對值的式子表示).
問題(2):利用數(shù)軸探究:
①找出滿足的x的所有值是 ,
②設,當x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時,p的值是不變的,而且是p的最小值,這個最小值是 ;當x的取值范圍是 時, 取得最小值,最小值是 .
問題(3):求的最小值以及此時x的值;
問題(4): ,求的最大值和最小值.
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【題目】列一元一次方程解應用題:
某管道由甲、乙兩工程隊單獨施工分別需要30天、20天.
(1)如果兩隊從管道兩端同時施工,需要多少天完工?
(2)又知甲隊單獨施工每天需付200元施工費,乙隊單獨施工每天需付280元施工費,那么是由甲隊單獨施工,還是由乙隊單獨施工,還是由兩隊同時施工?請你按照少花錢多辦事的原則,設計一個方案,并通過計算說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一周長為30cm的圓形軌道上有相距10cm的A、B兩點 (備注:圓形軌道上兩點的距離是指圓上這兩點間較短部分展直后的線段長).動點P從A點出發(fā),以a cm/s的速度,在軌道上按逆時針方向運動,與此同時,動點Q從B出發(fā),以3 cm/s的速度,按同樣的方向運動.設運動時間為t (s),當t = 5時,動點P、Q第一次相遇.
(1)求a的值;
(2)若a > 3,在P、Q第二次相遇前,當動點P、Q在軌道上相距12cm時,求t的值.
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