Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，有一寬度為1的刻度尺沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q，交直線AC于點M和點N，交x軸于點E和點F．

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）當點M和點N都在線段AC上時，連接EN，如果點E的坐標為（4，0），求sin∠ANE的值；

（3）在刻度尺平移過程中，當以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（5，0）、B（-3，0）、C（0，5）;(2) ;(3) 點N的坐標為（2，3）或（2+ ，3﹣）或（2﹣，3+）

【解析】（1）令y=0得： =0，解得x=5或x=-3．

∵點A在點B的右側，

∴點A、B的坐標分為（5，0）、（-3，0）．

當x=0時，y=5，

∴點C的坐標為（0，5）．………………………………………………3分

（2）如圖1，作EG⊥AC，垂足為點G．

∵點E的坐標為（4，0），

∴OE=4．

∵OA=OC=5，

∴AE=1，∠OAC=45°．

∴AF=FN=2，GE=AEsin45°=．………………5分

在Rt△EFN中，依據(jù)勾股定理可知NE===．………………6分

∴sin∠ANE===．……………………7分

（3）設直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b．

將點A和點C的坐標代入得： ，

解得k=﹣1，b=5．

∴直線AC的函數(shù)表達式為y=﹣x+5．………………9分

①當MN為邊時，如圖2所示：

設點Q（n， ），則點P（n+1， ），點N（n，﹣n+5）M(n+1，-n+4)．

∵QN=PM

∴，解得n=2．

∴點N的坐標為（2，3）．………………………………10分

當MN是平行四邊形的對角線時，如圖3所示：

設點F的坐標為（m，0），

則N（m，﹣m+5），M（m+1，﹣m+4）,

Q（m， ），P（m+1， ）．

∵QN = PM，

∴，解得m=2±．

∴點N的坐標為（2，3﹣）或（2﹣，3+）．

綜上所述，以點P、Q、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形時，點N的坐標為（2，3）或（2，3﹣）或（2﹣，3+）．…………………………12分