Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M也是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，且△MAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c中，得：

，

解得：

故拋物線(xiàn)的解析式：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：當(dāng)P點(diǎn)在x軸上，P，A，B三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短，

此時(shí)x=﹣ =1，

故P（1，0）

（3）

解：如圖所示：

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=﹣ =1，設(shè)M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），則：

MA2=m2+4，MC2=（3+m）2+1=m2+6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，則MA2=MC2，得：

m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1，

②若MA=AC，則MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：m=± ；

③若MC=AC，則MC2=AC2，得：

m2+6m+10=10，得：m1=0，m2=﹣6；

當(dāng)m=﹣6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線(xiàn)，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1， ）（1，﹣ ）（1，﹣1）（1，0）．

【解析】（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中求出待定系數(shù)即可；（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，那么根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性以及兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)，即為符合條件的P點(diǎn)；（3）由于△MAC的腰和底沒(méi)有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①M(fèi)A=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解．