Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，ABCD為長方形，其中點A、C坐標分別為（﹣8，4）、（2，﹣8），且AD∥x軸，交y軸于M點，AB交x軸于N．

（1）求B、D兩點坐標和長方形ABCD的面積；

（2）一動點P從A出發(fā)（不與A點重合），以個單位/秒的速度沿AB向B點運動，在P點運動過程中，連接MP、OP，請直接寫出∠AMP、∠MPO、∠PON之間的數(shù)量關系；

（3）是否存在某一時刻t，使三角形AMP的面積等于長方形面積的？若存在，求t的值并求此時點P的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（﹣8，﹣8），D（2，4），120；（2）∠MPO=∠AMP+∠PON；∠MPO=∠AMP-∠PON；（3）存在，P點坐標為（﹣8，﹣6）．

【解析】

（1）利用點A、C的坐標和長方形的性質(zhì)易得B（﹣8，﹣8），D（2，4），然后根據(jù)長方形的面積公式即可計算長方形ABCD的面積；

（2）分點P在線段AN上和點P在線段NB上兩種情況進行討論即可得；

（3）由于AM=8，AP=t，根據(jù)三角形面積公式可得S△AMP =t，再利用三角形AMP的面積等于長方形面積的，即可計算出t=20，從而可得AP=10，再根據(jù)點的坐標的表示方法即可寫出點P的坐標.

（1）∵點A、C坐標分別為（﹣8，4）、（2，﹣8），

∴B（﹣8，﹣8），D（2，4），

長方形ABCD的面積=（2+8）×（4+8）=120；

（2）當點P在線段AN上時，作PQ∥AM，如圖，

∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，即∠MPO=∠AMP+∠PON；

當點P在線段NB上時，作PQ∥AM，如圖，

∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM-∠QPO=∠AMP-∠PON，即∠MPO=∠AMP-∠PON；

（3）存在，

∵AM=8，AP=t，∴S△AMP=×8×t=2t，

∵三角形AMP的面積等于長方形面積的，

∴2t=120×=40，∴t=20,AP=×20=10，

∵AN=4，

∴PN=6

∴P點坐標為（﹣8，﹣6）．