Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數(shù)y= （x＞0）圖象上的任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B．
（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；
（2）求△AOB的面積；
（3）Q是反比例函數(shù)y= （x＞0）圖象上異于點P的另一點，請以Q為圓心，QO半徑畫圓與x、y軸分別交于點M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．

Answer 1

【答案】
（1）解：點P在線段AB上，理由如下：

∵點O在⊙P上，且∠AOB=90°，

∴AB是⊙P的直徑，

∴點P在線段AB上

（2）解：過點P作PP1⊥x軸，PP2⊥y軸，

由題意可知PP1、PP2，是△AOB的中位線，

故S△AOB= OA×OB= ×2PP1×2PP2，

∵P是反比例函數(shù)y= （x＞0）圖象上的任意一點，

∴S△AOB= OA×OB= ×2PP1×2PP2=2PP1×PP2=12

（3）證明：如圖，連接MN，則MN過點Q，且S△MON=S△AOB=12．

∴OAOB=OMON，

∴ ，

∵∠AON=∠MOB，

∴△AON∽△MOB，

∴∠OAN=∠OMB，

∴AN∥MB．

【解析】（1）點P在線段AB上，由O在⊙P上，且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直徑，由此即可證明點P在線段AB上；（2）如圖，過點P作PP1⊥x軸，PP2⊥y軸，由題意可知PP1、PP2是△AOB的中位線，故S△AOB= OA×OB= ×2PP1×PP2而P是反比例函數(shù)y= （x＞0）圖象上的任意一點，由此即可求出PP1×PP2=6，代入前面的等式即可求出S△AOB；（3）如圖，連接MN，根據(jù)（1）（2）則得到MN過點Q，且S△MON=S△AOB=12，然后利用三角形的面積公式得到OAOB=OMON，然后證明△AON∽△MOB，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理和圓周角定理的相關(guān)知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．