Question

【題目】我們知道，如圖1，AB是⊙O的弦，點F是的中點，過點F作EF⊥AB于點E，易得點E是AB的中點，即AE＝EB．⊙O上一點C（AC＞BC），則折線ACB稱為⊙O的一條“折弦”．

（1）當點C在弦AB的上方時（如圖2），過點F作EF⊥AC于點E，求證：點E是“折弦ACB”的中點，即AE＝EC+CB．

（2）當點C在弦AB的下方時（如圖3），其他條件不變，則上述結論是否仍然成立？若成立說明理由；若不成立，那么AE、EC、CB滿足怎樣的數量關系？直接寫出，不必證明．

（3）如圖4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑為2，過⊙O上一點P作PH⊥AC于點H，交AB于點M，當∠PAB＝45°時，求AH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論AE＝EC+CB不成立，新結論為：CE＝BC+AE，見解析；（3）AH的長為﹣1或+1．

【解析】

（1）在AC上截取AG＝BC，連接FA，FG，FB，FC，證明△FAG≌△FBC，根據全等三角形的性質得到FG＝FC，根據等腰三角形的性質得到EG＝EC，即可證明.

（2）在CA上截取CG＝CB，連接FA，FB，FC，證明△FCG≌△FCB，根據全等三角形的性質得到FG＝FB，得到FA＝FG，根據等腰三角形的性質得到AE＝GE，即可證明.

（3）分點P在弦AB上方和點P在弦AB下方兩種情況進行討論.

解：（1）如圖2，

在AC上截取AG＝BC，連接FA，FG，FB，FC，

∵點F是的中點，FA＝FB，

在△FAG和△FBC中，

∴△FAG≌△FBC（SAS），

∴FG＝FC，

∵FE⊥AC，

∴EG＝EC，

∴AE＝AG+EG＝BC+CE；

（2）結論AE＝EC+CB不成立，新結論為：CE＝BC+AE，

理由：如圖3，

在CA上截取CG＝CB，連接FA，FB，FC，

∵點F是的中點，

∴FA＝FB，,

∴∠FCG＝∠FCB，

在△FCG和△FCB中，

∴△FCG≌△FCB（SAS），

∴FG＝FB，

∴FA＝FG，

∵FE⊥AC，

∴AE＝GE，

∴CE＝CG+GE＝BC+AE；

（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，

∴

當點P在弦AB上方時，如圖4，

在CA上截取CG＝CB，連接PA，PB，PG，

∵∠ACB＝90°，

∴AB為⊙O的直徑，

∴∠APB＝90°，

∵∠PAB＝45°，

∴∠PBA＝45°＝∠PAB，

∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB，

在△PCG和△PCB中，

∴△PCG≌△PCB（SAS），

∴PG＝PB，

∴PA＝PG，

∵PH⊥AC，

∴AH＝GH，

∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，

∴

∴ 當點P在弦AB下方時，如圖5，

在AC上截取AG＝BC，連接PA，PB，PC，PG

∵∠ACB＝90°，

∴AB為⊙O的直徑，

∴∠APB＝90°，

∵∠PAB＝45°，

∴∠PBA＝45°＝∠PAB，

∴PA＝PB，

在△PAG和△PBC中，

∴△PAG≌△PBC（SAS），

∴PG＝PC，

∵PH⊥AC，

∴CH＝GH，

∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，

∴

∴

∴

即：當∠PAB＝45°時，AH的長為 或