Question

已知拋物線的頂點為點C．

（1）求證：不論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

（2）若拋物線的對稱軸為直線，求m的值和C點坐標；

（3）如圖，直線與（2）中的拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．直線交直線AB于點M，交拋物線于點N．求當k為何值時，以C，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

 (1)Δ＝

＝．                                   

∵不論m為何實數(shù)，總有，∴Δ＝＞0，

∴無論m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根，

∴無論m為何實數(shù)，拋物線與x軸總有兩個不同的交點．

(2)∵ 拋物線的對稱軸為直線x＝3，

∴ ＝3，即m＝3，                               

此時，拋物線的解析式為y＝＝，

∴頂點C坐標為(3，－2)．                                   

(3) ∵CD∥MN，C，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形．

由已知D(3，2)，M(k，k－1)，N(k，)，

∵C(3，－2)，∴ CD＝4．

∴MN＝＝CD＝4．                

①當四邊形CDMN是平行四邊形，

MN＝k－1－()＝4，

整理得  ＝0，

解得  k₁＝3（不合題意，舍去），k₂＝5．                     

②當四邊形CDNM是平行四邊形，

NM＝－(k－1)＝4，

整理得  ＝0，

解得  k₃＝，k₄＝．

綜上所述，k＝5，或k＝，或k＝時，可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．