Question

【題目】如圖（1），拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，）．［圖（2）為解答備用圖］

（1）__________，點A的坐標為___________，點B的坐標為__________；

（2）設拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；

（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） k=-3，A（-1，0），B（3，0）；（2）9;（3） ．

【解析】

試題分析：（1）將C點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出k的值；令拋物線的解析式中y=0，即可求出A、B的坐標；

（2）將拋物線的解析式化為頂點式，即可求出M點的坐標；由于四邊形ACMB不規(guī)則，可連接OM，將四邊形ACMB的面積轉(zhuǎn)化為△ACO、△MOC以及△MOB的面積和；

（3）當D點位于第三象限時四邊形ABCD的最大面積顯然要小于當D位于第四象限時四邊形ABDC的最大面積，因此本題直接考慮點D為與第四象限時的情況即可；設出點D的橫坐標，根據(jù)拋物線的解析式即可得到其縱坐標；可參照（2）題的方法求解，連接OD，分別表示出△ACO、△DOC以及△DOB的面積，它們的面積和即為四邊形ABDC的面積，由此可得到關于四邊形ABDC的面積與D點橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABDC的最大面積及對應的D點坐標．

試題解析：（1）由于點C在拋物線的圖象上，則有：k=-3；

∴y=x2-2x-3；

令y=0，則x2-2x-3=0，

解得x=-1，x=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）拋物線的頂點為M（1，-4），連接OM；

則△AOC的面積=AOOC=×1×3=，

△MOC的面積=OC|xM|=×3×1=，

△MOB的面積=OB|yM|=×3×4=6；

∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9；

（3）設D（m，m2-2m-3），連接OD；

則0＜m＜3，m2-2m-3＜0；

且△AOC的面積=，△DOC的面積=m，△DOB的面積=-（m2-2m-3）；

∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積

=-m2+m+6=-（m-）2+；

∴存在點D（，-），使四邊形ABDC的面積最大，且最大值為．