Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸的交點(diǎn)為A(－3，0)和B．將拋物線y＝x2＋bx＋c繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)M1，A1為點(diǎn)M，A旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的拋物線與y軸相交于C，D兩點(diǎn)．

(1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)及求原拋物線的解析式：

(2)求證A，M，A1三點(diǎn)在同一直線上：

(3)設(shè)點(diǎn)P是旋轉(zhuǎn)后拋物線上DM1之間的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PM1MD的面積最大．如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PM1MD的面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見試題解析；（3）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-7）使四邊形PM1MD的面積最大，面積最大值為

【解析】

試題（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可寫出B的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱軸是直線x=1，與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）代入即可得到方程組，解方程組即可求出b、c的值，即可得到答案；

（2）把x=1代入拋物線解析式即可得到M的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和圖象即可求出M1、A1的坐標(biāo)，設(shè)直線AM的表達(dá)式為y=kx+m，把A、M的坐標(biāo)代入即可求出直線AM的解析式，根據(jù)以此函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定點(diǎn)A1在直線AM上即可得到結(jié)論；

（3）連接M1D，如圖，由于S△M1MD是定值，則要使四邊形PM1MD的面積最大，只要S△M1PD最大，將△M1PD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M1與點(diǎn)M重合，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，利用旋轉(zhuǎn)變換得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-5，5），設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，），易得直線MF的表達(dá)式為y=，則根據(jù)三角形面積公式得到S△PDM1=S△QMF=（-）×（5+1）=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)m=-2時(shí)，當(dāng)m=-2時(shí)，S△M1PD最大=，則點(diǎn)Q（-2，-），利用旋轉(zhuǎn)變換得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-7），然后計(jì)算S△DM1M的面積=24，再計(jì)算出四邊形PM1MD的面積為24+=．

試題（1）解：∵點(diǎn)B與點(diǎn)A（-3，0）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）代入即可得到方程組，解得；

（2）點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（9，-4），點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（5，-8），設(shè)直線AM的表達(dá)式為y=kx+m，把A（-3，0），M（1，-4）代入解得，直線AM的解析式為y=-x-3，當(dāng)x=5代入y=-x-3=-8，∴點(diǎn)A1在直線AM上，∴∠AMA1=180°；

（3）解：存在點(diǎn)P使四邊形PM1MD的面積最大．

連接M1D，如圖，∵S△M1MD是定值，∴要使四邊形PM1MD的面積最大，只要S△M1PD最大，將△M1PD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M1與點(diǎn)M重合，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，則點(diǎn)Q，F都在拋物線y=上，由于F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，當(dāng)y=5時(shí)，解得x1=-5，x2=7（舍去），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-5，5），設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，）易得直線MF的表達(dá)式為y=

∴S△PDM1=S△QMF==

當(dāng)m=-2時(shí)，S△M1PD最大=∴點(diǎn)Q（-2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-7），

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（9，-4），D（0，-10），

∴S△DM1M的面積=24，∴四邊形PM1MD的面積為24+=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-7）使四邊形PM1MD的面積最大，面積最大值為．