Question

四邊形ABCD是正方形，AC與BD，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F是直線AD上兩動點(diǎn)，且AE=DF，CF所在直線與對角線BD所在直線交于點(diǎn)G，連接AG，直線AG交BE于點(diǎn)H．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、F在線段AD上時(shí)，①求證：∠DAG=∠DCG；②猜想AG與BE的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）如圖2，在（1）條件下，連接HO，試說明HO平分∠BHG；

（3）當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動到如圖3所示的位置時(shí)，其它條件不變，請將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出∠BHO的度數(shù)．

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

【專題】綜合題．

【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，則可根據(jù)“SAS”證明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△DCF，則∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判斷AG⊥BE；

（2）如答圖1所示，過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，證明△AON≌△BOM，可得四邊形OMHN為正方形，因此HO平分∠BHG結(jié)論成立；

（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG⊥BE；過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，構(gòu)造全等三角形△AON≌△BOM，從而證明OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．

【解答】（1）①證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

②解：AG⊥BE．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，

在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠ABE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（2）解：由（1）可知AG⊥BE．

如答圖1所示，過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，則四邊形OMHN為矩形．

∴∠MON=90°，

又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OAN=∠OBM．

在△AON與△BOM中，

∴△AON≌△BOM（AAS）．

∴OM=ON，

∴矩形OMHN為正方形，

∴HO平分∠BHG．

（3）將圖形補(bǔ)充完整，如答圖2示，∠BHO=45°．

與（1）同理，可以證明AG⊥BE．

過點(diǎn)O作OM⊥BE于點(diǎn)M，ON⊥AG于點(diǎn)N，

與（2）同理，可以證明△AON≌△BOM，

可得OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，

∴∠BHO=45°．

【點(diǎn)評】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)解決線段和角相等的問題．