Question

【題目】如圖，直線y＝x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，并且點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，過動點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交線段AC于點(diǎn)D．

①如圖1，過D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，交拋物線于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M位于點(diǎn)N的左側(cè)），連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，求點(diǎn)P，M，N的坐標(biāo)；

②如圖2，連接CD，若以C，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似，求△CPD的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，6），點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（，2）、（，2）；②△CPD的面積為或4．

【解析】

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入直線和拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）①四邊形DEOF為矩形，故：EF＝OD，當(dāng)OD垂直于AC時，OD最小，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為（﹣2，2），即可求解；

②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD兩種情況，求解即可．

（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線y＝x+c得：0＝﹣4+c，

解得：c＝4，

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝﹣16﹣4b+4，

解得：b＝﹣3，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣3x+4，

故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（0，4），

將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y＝kx+b得：

，解得，

則直線AC的表達(dá)式為：y＝x+4；

（2）①∵四邊形DEOF為矩形，故：EF＝OD，

當(dāng)OD垂直于AC時，OD最小（即EF最�。�，

∵OA＝OC，

∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為（﹣2，2），

故點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，6），

把點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：﹣x2﹣3x+4＝2，

解得：x＝，

故點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（，2）、（，2）；

②當(dāng)△ADE∽△CDP時，則∠CPD＝90°，PC＝PD，

則PC∥x軸，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣3，4），

點(diǎn)D在直線AC：y＝x+4上，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣3，1），

則PD＝4﹣1＝3＝PC，

則S△CPD＝×PCPD＝；

當(dāng)△ADE∽△PDC時，

同理可得：S△CPD＝×PDCH＝4，

故：△CPD的面積為或4