Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，BF切⊙O于點B，AF交⊙O于點D，點C在DF上，BC交⊙O于點E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于點G，連接AE．
（1）直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；
（2）求證：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°．

∴AE⊥BC

（2）解：如圖1，

∵BF與⊙O相切，

∴∠ABF=90°．

∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE．

∵∠BAF=2∠CBF．

∴∠BAF=2∠BAE．

∴∠BAE=∠CAE．

∴∠CBF=∠CAE．

∵CG⊥BF，AE⊥BC，

∴∠CGB=∠AEC=90°．

∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，

∴△BCG∽△ACE

（3）解：連接BD，如圖2所示．

∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，

∴∠DBE=∠CBF．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°．

∴BD⊥AF．

∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，

∴CD=CG．

∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°，

∴tan∠F= =CG=tan60°=

∵CG= ，

∴CD= ．

∵∠AFB=60°，∠ABF=90°，

∴∠BAF=30°．

∵∠ADB=90°，∠BAF=30°，

∴AB=2BD．

∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC，

∴∠ABE=∠ACE．

∴AB=AC．

設⊙O的半徑為r，則AC=AB=2r，BD=r．

∵∠ADB=90°，

∴AD= r．

∴DC=AC﹣AD=2r﹣ r=（2﹣ ）r= ．

∴r=2 +3．

∴⊙O的半徑長為2 +3．

【解析】（1）由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直．（2）易證∠CBF=∠BAE，再結(jié)合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE，易證∠CGB=∠AEC，從而證到△BCG∽△ACE．（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG= ；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG= ；設圓O的半徑為r，易證AC=AB，∠BAD=30°，從而得到AC=2r，AD= r，由DC=AC﹣AD= 可求出⊙O的半徑長．
【考點精析】利用角平分線的性質(zhì)定理和等腰三角形的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．