Question

如圖所示，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC＝BC，試說明AF⊥EF．

Answer 1

答案：
解析：

解：連接AE，設(shè)正方形的邊長為4x， 　　則DF＝2x，F(xiàn)C＝2x，CE＝x，EB＝3x， 　　且∠D＝∠C＝∠B＝90°． 　　在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝(4x)2＋(2x)2＝20x2， 　　在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2＝(2x)2＋x2＝5x2， 　　在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝(4x)2＋(3x)2＝25x2， 　　在△AEF中，AF2＝20x2，EF2＝5x2，AE2＝25x2， 　　所以AF2＋EF2＝20x2＋5x2＝25x2＝AE2． 　　即AF2＋EF2＝AE2． 　　所以△AEF是直角三角形且∠AFE＝90°． 　　即AF⊥EF． 　　分析：要證明AF⊥EF，只需說明△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只需說明AF2＋EF2＝AE2，于是首先由勾股定理，求出AE，AF，EF． 　　說明：設(shè)正方形的邊長為4x，意在使圖形中已知線段不出現(xiàn)分母，便于計(jì)算．