Question

【題目】如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）觀察圖象，直接寫出不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為；一次函數(shù)的解析式為y=-x+5；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；（3）x＜0或1≤x≤4

【解析】

（1）將點(diǎn)A（1，4）代入可得m的值，求得反比例函數(shù)的解析式；根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得一次函數(shù)的解析式；

（2）作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交x軸于P，此時(shí)PA+PB=AB′最小，根據(jù)B的坐標(biāo)求得B′的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB′的解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點(diǎn)P即可．

（3）根據(jù)圖象得出不等式的解集即可。

解：（1）把A（1，4）代入，得：m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為；

把B（4，n）代入，得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b，

得：

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+5；

（2）如圖，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交x軸于P，此時(shí)PA+PB=AB′最小，

∵B（4，1），
∴B′（4，-1），
設(shè)直線AB′的解析式為y=px+q，

解得

∴直線AB′的解析式為

令y=0，得

解得

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）

（3）根據(jù)圖象得當(dāng)x＜0或1≤x≤4時(shí)，一次函數(shù)y=-x+5的圖象在反比例函數(shù)的上方。

∴不等式的解集為x＜0或1≤x≤4。