在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,a),B(3,a),且最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4.
(1)求拋物線的表達(dá)式及a的值;
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),記拋物線在點(diǎn)A,B之間的部分為圖象G(包含A,B兩點(diǎn)),如果直線DP與圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求點(diǎn)P縱坐標(biāo)t的取值范圍.
(3)拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)Q在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí),滿足S△QAB=12,并求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)A和B的縱坐標(biāo)相同,則一定是對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則可以求得對(duì)稱(chēng)軸,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得,然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式和a的值;
(2)首先求出直線CD的表達(dá)式和直線BD的表達(dá)式,然后求得直線BD與x軸的交點(diǎn),根據(jù)圖象即可確定;
(3)首先求得AB的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高,從而求得Q的縱坐標(biāo),然后代入二次函數(shù)解析式求得Q的橫坐標(biāo)即可.
【解答】解:(1)∵拋物線y=2x2+mx+n過(guò)點(diǎn)A(﹣1,a ),B(3,a),
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1.
∵拋物線最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4,
∴拋物線的頂點(diǎn)是(1,﹣4).
∴拋物線的表達(dá)式是y=2(x﹣1)2﹣4,
即y=2x2﹣4x﹣2.
把A(﹣1,a )代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=2x2﹣4x﹣2,則a=4;
(2)∵拋物線頂點(diǎn)C(1,﹣4)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D,
∴D(﹣1,﹣4).
求出直線CD的表達(dá)式為y=﹣4.
B的坐標(biāo)是(3,4),設(shè)BD的解析式是y=kx+b,
則,
解得:,
則直線BD的表達(dá)式為y=2x﹣2,當(dāng)x=1時(shí),y=0.
所以﹣4<t≤0;
(3)存在點(diǎn)Q,使△QAB的面積等于12,
AB=3﹣(﹣1)=4,
設(shè)P到AB的距離是d,則×4d=12,
解得:d=6,
則Q的縱坐標(biāo)是4﹣6=﹣2,或4+6=10.
當(dāng)Q的縱坐標(biāo)是﹣2時(shí),在y=2x2﹣4x﹣2中令y=﹣2,則2x2﹣4x=0,
解得:x=0或2,
則Q的坐標(biāo)是(0,﹣2)或(2,﹣2);
當(dāng)Q的坐標(biāo)是10時(shí),在y=2x2﹣4x﹣2中令y=﹣2,則2x2﹣4x﹣2=10,
解得:x=1+或1﹣
,
則Q的坐標(biāo)是(1+,10)或(1﹣
,10).
總之,Q的坐標(biāo)是:(0,﹣2)或(2,﹣2)或(1+,10)或(1﹣
,10).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,以及三角形的面積公式,根據(jù)三角形的面積公式確定Q的縱坐標(biāo)是關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
為增強(qiáng)環(huán)境保護(hù)意識(shí),爭(zhēng)創(chuàng)“文明衛(wèi)生城市”,某企業(yè)對(duì)職工進(jìn)行了一次“生產(chǎn)和居住環(huán)境滿意度”的調(diào)查,按年齡分組,得到下面的各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)表:
各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
組號(hào) | 年齡分組 | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
第一組 | 20≤x<25 | 50 | 0.05 |
第二組 | 25≤x<30 | a | 0.35 |
第三組 | 30≤x<35 | 300 | 0.3 |
第四組 | 35≤x<40 | 200 | b |
第五組 | 40≤x≤45 | 100 | 0.1 |
(1)求本次調(diào)查的樣本容量及表中的a、b的值;
(2)調(diào)查結(jié)果得到對(duì)生產(chǎn)和居住環(huán)境滿意的人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.政策規(guī)定:本次調(diào)查滿意人數(shù)超過(guò)調(diào)查人數(shù)的一半,則稱(chēng)調(diào)查結(jié)果為滿意.如果第一組滿意人數(shù)為36,請(qǐng)問(wèn)此次調(diào)查結(jié)果是否滿意;并指出第五組滿意人數(shù)的百分比;
(3)從第二組和第四組對(duì)生產(chǎn)和居住環(huán)境滿意的職工中分別抽取3人和2人作義務(wù)宣傳員,在這5人中隨機(jī)抽取2人介紹經(jīng)驗(yàn),求第二組和第四組恰好各有1人被抽中介紹經(jīng)驗(yàn)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
在下面的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6.
①試作出△ABC以B為旋轉(zhuǎn)中心,沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后的圖形△BA1C1;
②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,4),試建立合適的直角坐標(biāo)系,并寫(xiě)出B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如果一個(gè)正多邊形的中心角是60°,那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是( 。
A.5 B.6 C.7 D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,笑臉蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)可能為( )
A.(5,2) B.(3,﹣4) C.(﹣4,﹣6) D.(﹣1,3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,在△ABC中,AD,CE是高線,AF是角平分線,∠BAC=∠AFD=80°.
(1)求∠BCE的度數(shù);
(2)如果AD=6,BE=5.求△ABC的面積.
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