Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)為（4,1）的拋物線交軸于點(diǎn),交軸于,兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）,已知點(diǎn)坐標(biāo)為（6,0）.

（1）求此拋物線的解析式；
（2）聯(lián)結(jié)AB,過點(diǎn)作線段的垂線交拋物線于點(diǎn),如果以點(diǎn)為圓心的圓與拋物線的對(duì)稱軸相切,先補(bǔ)全圖形,再判斷直線與⊙的位置關(guān)系并加以證明；
（3）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于,兩點(diǎn)之間.問：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),的面積最大？求出的最大面積.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為；
（2）直線BD與⊙相離；
（3）的最大面積是.

試題分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)列出頂點(diǎn)式，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；
（2）先求出圓的半徑，再借助三角形相似，求出C到直線的距離，比較他們的大小即可；
（3）過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出PQ的值，再表示出
的面積，借助函數(shù)關(guān)系式求出最值.
試題解析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（4,1）,
∴設(shè)拋物線解析式為.
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6,0）,
∴.
∴.
∴.
所以拋物線的解析式為；
(2)補(bǔ)全圖形、判斷直線BD與⊙相離
令=0,則,. 
∴點(diǎn)坐標(biāo)（2,0）.
又∵拋物線交軸于點(diǎn),
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,
∴.
設(shè)⊙與對(duì)稱軸l相切于點(diǎn)F,則⊙的半徑CF=2,
作⊥BD于點(diǎn)E,則∠BEC=∠AOB=90°.

∵,
∴.
又∵,
∴.
∴∽,
∴.
∴,
∴.
∴直線BD與⊙相離；
(3)如圖,過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).

∵A（0,-3）,（6,0）.
∴直線解析式為.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（,）,
則點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）.
∴PQ=-()=.
∵,
∴當(dāng)時(shí),的面積最大為 
∵當(dāng)時(shí),=
∴點(diǎn)坐標(biāo)為（3,）.
綜上：點(diǎn)的位置是（3,）,的最大面積是.