Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中， AB∥DC，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，

tan∠ADC＝2．

（1）求證：DC＝BC；

（2）E是梯形內的一點，F是梯形外的一點，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結論；

（3）在⑵的條件下，當BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°時，求sin∠BFE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）等腰直角三角形，證明見解析（3）

【解析】

（1）過A點作AG⊥DC，垂足為G，只需求DG+CG，在直角三角形AGD中，可求DG=5，所以DC=BC；

（2）由已知可證△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；

（3）設BE＝k，CE= 2k，由已知，求出∠BEF=90°， 根據勾股定理求出BF=3k，根據銳角三角函數的定義即可求出答案．

解：（1）過A作DC的垂線AM交DC于M，

則AM＝BC＝2． 又tan∠ADC＝2，所以 DM= =1．

因為MC＝AB＝1，所以DC＝DM+MC＝2，即DC＝BC．

(2)等腰直角三角形．

證明：因為DE＝DF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC．

所以，△DEC≌△BFC（SAS）

所以，CE＝CF，∠ECD＝∠BCF．

所以，∠ECF＝∠BCF+∠BCE＝∠ECD+∠BCE＝∠BCD＝90°

即△ECF是等腰直角三角形．

(3)設BE＝k，則CE＝CF＝2k，所以 .

因為∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，所以∠BEF＝90°．

所以 所以 ．