Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點為邊上的一個動點、過點作交邊于點，把線段繞點旋轉(zhuǎn)至（點與點對應(yīng)），點落在線段上，若恰好平分，則的長為_________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

由PQ∥AC，可得△BPQ∽△BCA，得到BP:BQ=BC:BA=3:4，設(shè)BP=3x，則BQ=4x，PQ=5x，PE=PB=3x，又AE恰好平分∠BAC，由此得到∠QAE=∠EAC=∠AEQ，進(jìn)而得到△QAE是等腰三角形，QE=AQ=2x，進(jìn)而得到AB=AQ+QB=6x=8，解出x的值即可求解.

解：如下圖：

∵PQ∥AC，∴∠QPB=∠ACB，且∠B為公共角

∴△BPQ∽△BCA

∴，設(shè)BP=3x，則BQ=4x，PQ=5x，PE=PB=3x

∵AE恰好平分∠BAC，

∴∠QAE=∠EAC

又PQ∥AC

∴∠EAC=∠AEQ

∴∠QAE=∠AEQ

∴△AQE為等腰三角形，且AQ=QE=2x

∴AB=AQ+BQ=2x+4x=6x，又AB=8

∴6x=8，

∴BP=3x=4.

故答案為：4.