Question

【題目】如1，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點，等邊的頂點與原點重合，邊落在軸正半軸上，點恰好落在線段上，將等邊從圖1的位置沿軸正方向以每秒1個單位長度的速度平移，邊分別與線段交于點(如圖2所示)，設平移的時間為(s)．

(1) ，等邊的邊長為 ；

(2)在運動過程中，當為何值時，MN垂直平分AB；

(3)在開始平移的同時，點從的頂點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線運動，當點運動到時立即停止運動，也隨之停止平移．

①當點在線段上運動時，若，求的值；

②當點在線段上運動時，若的面積，求的值．

Answer 1

【答案】（1）30°，3；（2）3；（3）①或；②2

【解析】

（1）根據，∠OMN=30°和△ABC為等邊三角形，求證△OAM為直角三角形，然后即可得出答案．

（2）易知當點C與M重合時直線MN平分線段AB，此時OB=3，由此即可解決問題；

（3）①分為點P在EF下方和P在EF上方兩種情況討論，分別表示出PE和AE，用AE=2PE，即可解得t值；

②確定好點P的表示，表示出EF，及P到EF的高度，用三角形面積公式，即可解得t值．

（1）∵直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N，

∴OM=6cm，ON=，

∴tan∠OMN= =，

∴∠OMN=30°，

∴∠ONM=60°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠AOC=60°，∠NOA=30°，

∴OA⊥MN，即△OAM為直角三角形，

∴OA=OM=×6=3．

故答案為30°，3．

（2）若直線MN垂直平分AB，則MN與中過點C的高重合

故當點C與M重合時直線MN平分線段AB，此時，

又右移的速度為每秒1個單位，所以t=3．

故答案為3．

（3）①由題意知BP=2t，BM=6﹣t，

∵∠BEM=90°，∠BME=30°，

∴BE=3﹣，AE=AB﹣BE=，

若P在EF下方

則

∵

∴，即

若P在EF上方，

則

∵

∴，即

故的值為：或

②由BP=2t，BM=6﹣t，

∵∠BEM=90°，∠BME=30°，

∴BE=3﹣，AE=AB﹣BE=，

∵

∴，

∴

∴P到EF的高

∴，解得或

∵P的勻速速度為每秒2個單位，AB=3，

∴P在AC上時，

∴．

故t的值為：2