Question

如圖，直線與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以AB為直徑的⊙M過原點(diǎn)O，垂直于x軸的直線MP與⊙M的下半圓交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)B關(guān)于直線MP對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)；　
（2）若直線MP的解析式是x=6，求過P、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；　
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)E，使∠EOP=45°？若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
設(shè)y=0，則-x+3m=0，
∴x=4m，
∴A（4m，0），
∴OA=|4m|
設(shè)x=0，則y=3m，
∴B（0，3m），
∵M(jìn)P⊥OA，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2m，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4m，縱坐標(biāo)于B相同，
∴C（4m，3m）；

（2）直線MP的解析式是x=6，
∴2m=6，m=3，
∴A（12，0），B（0，9），C（12，9）
由勾股定理得AB==15，
即MP=，
∴M（6，），
∴P（6，-3）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把B，P，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得
，
解得．
故過P、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=x²-4x+9；

（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)E，使∠EOP=45°，延長OE交圓于D，
則∠DMP=90°，
∵M(jìn)（6，），MD=AB=，
∴D（，）
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，把D（，）代入解得k=，
∴y=x，
∵E是OD與拋物線的交點(diǎn)，
∴聯(lián)立解析式組成方程組為：，
解得：或，
故存在滿足條件的點(diǎn)E，有兩個坐標(biāo)分別是（，），（，）．
分析：（1）由直線的解析式可求出B和A點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳BAB為直徑，M是圓心所以M是AB中點(diǎn)，又因?yàn)镸P⊥OA，利用垂徑定理可得D是AO中點(diǎn)，即OD的長可求，進(jìn)而求出直線MP的解析式，從而求出點(diǎn)B關(guān)于直線MP對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由（1）可知OP=2m=6，所以可求出B，P，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，代入計(jì)算即可；
（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)E，使∠EOP=45°，設(shè)射線OE交圓于D，利用圓周角定理求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OE的解析式，此解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，解方程組即可．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．