Question

【題目】已知點在拋物線：（，均為常數(shù)且）上，交軸于點，連接．

（1）用表示，并求的對稱軸；

（2）當(dāng)經(jīng)過點（4，-7）時，求此時的表達式及其頂點坐標(biāo)；

（3）橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點如圖，當(dāng)時，若在點，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有5個整點，求的取值范圍：

（4）點，是上的兩點，若，當(dāng)時，均有，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）；（4）或或．

【解析】

（1）將點代入拋物線的解析式可得；根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸的計算公式即可得；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，將點代入求解即可得此時的表達式，再將其化為頂點式即可得頂點坐標(biāo)；

（3）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點C坐標(biāo)，再根據(jù)整點的定義求出這五個整點的坐標(biāo)，然后可得L的頂點縱坐標(biāo)需滿足的條件，求解即可得；

（4）根據(jù)a的取值分和兩種情況，然后分別利用二次函數(shù)的增減性和對稱性求解即可得．

（1）點在拋物線：

整理得：

的對稱軸為

即的對稱軸為；

（2）由（1）得

當(dāng)經(jīng)過點時，有，解得

則此時的表達式為

將化為頂點式得

則此時的頂點坐標(biāo)為；

（3）由（1）得

由的圖象可知，經(jīng)過點和，開口向下

則所求區(qū)域內(nèi)的整點即為對稱軸上的整點

因此，當(dāng)該區(qū)域中恰有5個整點時，這五個整點坐標(biāo)為

由此可得，的頂點縱坐標(biāo)應(yīng)滿足：

解得；

（4）由（1）得，其對稱軸為

則和時的函數(shù)值相等

由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)時，拋物線開口向上

二次函數(shù)的增減性為：當(dāng)時，y隨x的增大而減小；當(dāng)時，y隨x的增大而增大

要使，時，均有

則或

即或

②當(dāng)時，拋物線開口向下

二次函數(shù)的增減性為：當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小

要使，時，均有

則

解得

綜上，所求的t的取值范圍為或或．