Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象交x軸于點A（x₀，0）和點B（2，0），與y軸的正半軸交于點C，其對稱軸是直線x=-1，tan∠BAC=2，點A關于y軸的對稱點為點D．
（1）確定A、C、D三點的坐標；
（2）求過B、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）若過點（0，3）且平行于x軸的直線與（2）小題中所求拋物線交于M、N兩點，以MN為一邊，拋物線上任意一點P（x，y）為頂點作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關于P點縱坐標y的函數(shù)解析式；
（4）當

1

2

＜x＜4時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請求出；若無，請說明理由．

Answer 1

（1）∵點A與點B關于直線x=-1對稱，點B的坐標是（2，0）
∴點A的橫坐標是

x0+2

2

=-1，x₀=-4，
故點A的坐標是（-4，0）
∵tan∠BAC=2即

OC

|OA|

=2，可得OC=8
∴C（0，8）
∵點A關于y軸的對稱點為D
∴點D的坐標是（4，0）；

（2）設過三點的拋物線解析式為y=a（x-2）（x-4），
代入點C（0，8），解得a=1．
∴拋物線的解析式是y=x²-6x+8；

（3）∵拋物線y=x²-6x+8與過點（0，3）平行于x軸的直線相交于M點和N點
∴M（1，3），N（5，3），
而拋物線的頂點為（3，-1），
當y＞3時，
S=4（y-3）=4y-12，
當-1≤y＜3時，
S=4（3-y）=-4y+12；

（4）以MN為一邊，P（x，y）為頂點，且當＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離h最大
∴當x=3，y=-1時，h=4，
S=4h=4×4=16，
∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16．