Question

用兩個全等的等邊△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合．將三角尺繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)．

(1)當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F(如圖(1))，通過觀察或測量BE和CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論．

(2)當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F(如圖(2))，你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)經(jīng)測量知BE＝CF．理由如下： 　　∵∠BAE＋∠EAC＝∠BAC＝60°，∠CAF＋∠EAC＝∠EAF＝60° 　　∴∠BAE＝∠CAF 　　∵△ABC和AACD是兩個全等的等邊三角形 　　∴AB＝AC，∠B＝∠ACF 　　∴△ABE≌△ACF 　　∴BE＝CF 　　(2)經(jīng)測量知仍然有BE＝CE．理由如下： 　　∵∠BAE－∠EAC＝∠BAC＝60°，∠CAF－∠EAC＝∠EAF＝60° 　　∴∠BAE＝∠CAF 　　∵△ABC和△ACD是兩個全等的等邊三角形 　　∴AB＝AC，∠B＝∠ACF 　　∴△ABE≌△ACF 　　∴BE＝CF 　　思路與技巧：第(1)小題要找到BE和CF的關(guān)系，可以直觀地看出△ABE和△ACF全等，如果能證明出這個結(jié)論，那么BE和CF的關(guān)系是相等．由菱形的條件，可以得到邊相等的關(guān)系，由等邊三角形及三角尺的60°角可以得到角相等的關(guān)系，因此三角形的全等不難得證．第(2)小題同樣可以直觀地看出△ABE和△ACF全等，所以我們利用已知條件證明出這個結(jié)論即可． 　　評析：本題要求先通過操作實踐獲得結(jié)論，然后再給予證明，體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的相關(guān)要求，此外本題探索的是運(yùn)動著的圖形的性質(zhì)，所以這種試題是中考的熱點題型．