Question

9．天水市某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在19天內(nèi)完成，約定這批粽子的出廠價(jià)為每只4元，為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李紅第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿足如下關(guān)系：y=$\left\{\begin{array}{l}{32x（0≤x≤5）}\\{20x+60（5＜x≤19）}\end{array}\right.$
（1）李紅第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為260只？
（2）如圖，設(shè)第x天生產(chǎn)的每只粽子的成本是p元，p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫，若李紅第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤最大？最大利潤是多少元？（利潤=出廠價(jià)-成本）

Answer 1

分析 （1）令函數(shù)y=20x+60的函數(shù)值為260，然后求對應(yīng)的自變量的值即可；
（2）先利用函數(shù)圖象得到P與x的關(guān)系：0≤x≤9時(shí)，p=2；，當(dāng)9＜x≤19時(shí)，解析式為y=$\frac{1}{10}$x+$\frac{11}{10}$，然后分類討論：當(dāng)0≤x≤5時(shí)，w=（4-2）•32x；當(dāng)5＜x≤9時(shí)，w=（4-2）•（20x+60）；當(dāng)9＜x≤19時(shí)，w=[4-（$\frac{1}{10}$x+$\frac{11}{10}$）]•（20x+60），再利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出三種情況下的w的最大值，于是比較大小即可得到利潤的最大值．

解答 解：（1）設(shè)李紅第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為260只，
根據(jù)題意得20x+60=260，解得x=10，
答：李紅第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為260只；
（2）根據(jù)圖象得當(dāng)0≤x≤9時(shí)，p=2；
當(dāng)9＜x≤19時(shí)，設(shè)解析式為y=kx+b，
把（9，2），（19，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=2}\\{19k+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{10}}\\{b=\frac{11}{10}}\end{array}\right.$，
所以p=$\frac{1}{10}$x+$\frac{11}{10}$，
①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，w=（4-2）•32x=64x，x=5時(shí)，此時(shí)w的最大值為320（元）；
②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，w=（4-2）•（20x+60）=40x+120，x=9時(shí)，此時(shí)w的最大值為480（元）；
③當(dāng)9＜x≤19時(shí)，w=[4-（$\frac{1}{10}$x+$\frac{11}{10}$）]•（20x+60）=-2x²+52x+174=-2（x-13）²+512，x=13時(shí)，此時(shí)w的最大值為512（元）；
綜上所述，第13天的利潤最大，最大利潤是512元．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．