Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，聯(lián)結AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，將△ABD繞A點逆時針旋轉90°，所得到的三角形為 ，線段CF、BD所在直線的位置關系為 ，線段CF、BD的數量關系為 ；

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，并說明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△ACF，垂直，相等；②仍成立，理由參見解析；（2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD．理由參見解析.

【解析】試題分析：解題的關鍵是過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，構造全等三角形.（1）①當點D在線段BC上時，根據等腰直角三角形的性質以及旋轉的性質，即可得出CF=BD，BD⊥CF；②當點D在BC的延長線上時，①的結論仍成立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD，結合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

（2）當∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①中的方法可得CF⊥BD．

解：（1）①如圖2所示，將△ABD繞A點逆時針旋轉90°，所得到△ACF，則

由旋轉的性質可得：∠ACF=∠B，CF=BD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°=∠ACF，

∴∠BCF=90°，即BD⊥CF；

故答案為：△ACF，垂直，相等；

②如圖3所示，當點D在BC的延長線上時，①中的結論仍成立．

證明：由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAC=90°

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即 CF⊥BD；

（2）如圖4所示，當∠ACB=45°時，CF⊥BD．

理由：過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠AGC，

∴AC=AG，

又∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．