Question

【題目】如圖1所示，在正方形ABCD中，AB=1， 是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)．

（1）求證：EA=EG；

（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；

（3）如圖2所示，將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，連接AD1，D1D，試探索：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AD1D與△ED1F相似？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）y= （0＜x＜1）；（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)時(shí)，△AD1D與△ED1F相似；理由見解析．

【解析】試題分析：（1）證出AD是圓B的切線，由切線長(zhǎng)定理即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理、正方形的性質(zhì)得到有關(guān)的線段用x，y表示，再根據(jù)勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式．

（3）根據(jù)切線長(zhǎng)定理找到角之間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，從而證明三角形相似．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，AD=CD=AB=1，∴AD⊥BA，∴AD是圓B的切線，∵EG是圓B的切線，∴EA=EG；

（2）∵EF切圓B于點(diǎn)G，∴EA=EG，F(xiàn)C=FG．

∵AE=x，F(xiàn)C=y∴EF=x+y，DE=1﹣x，DF=1﹣y，

在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得：（x+y）2=（1﹣x）2+（1﹣y）2

∴y=（0＜x＜1）．

（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)時(shí)，△AD1D與△ED1F相似；理由如下：

設(shè)直線EF交線段DD1于點(diǎn)H，由題意，得：△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H．

∵AE= ，AD=1，∴AE=ED．∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°．

又∵∠ED1F=∠EDF=90°，∴∠FD1D=∠AD1D．∴D1F∥AD，∴∠ADD1=∠DD1F=∠EFD=45°，

∴△ED1F∽△AD1D．