Question

【題目】如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點H，交BC的延長線于點F，連接AF交DH于點G．則下列結(jié)論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據(jù)角平分線的定義 然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；
②③先根據(jù)直角的關(guān)系求出，然后利用角角邊證明△AHP與△FDP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，對應(yīng)角相等可得 然后利用平角的關(guān)系求出 ，再利用角角邊證明△ABP與△FBP全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，從而得解；
④根據(jù)PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根據(jù)等角對等邊可得DG=AG，再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF>AP，從而得出本小題錯誤．

①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，

∴

在△ABP中,

，故本小題正確；

②③∵

∴

∴∠AHP=∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴

在△AHP與△FDP中，

∴△AHP≌△FDP(AAS)，

∴DF=AH，

∵AD為∠BAC的外角平分線，∠PFD=∠HAP，

∴

又∵

∴∠PAE=∠PFD，

∵∠ABC的角平分線，

∴∠ABP=∠FBP，

在△ABP與△FBP中，

∴△ABP≌△FBP(AAS)，

∴AB=BF，AP=PF故②小題正確；

∵BD=DF+BF，

∴BD=AH+AB，

∴BDAH=AB，故③小題正確；

④∵PF⊥AD,

∴AG⊥DH，

∵AP=PF，PF⊥AD，

∴

∴

∴DG=AG，

∵ AG⊥DH，

∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，

∴DG=AG，GH=GF，

∴DG=GH+AF，

∵AF>AP，

∴DG=AP+GH不成立，故本小題錯誤，

綜上所述①②③正確。

故選A.