Question

如圖（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系（位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系），請直接寫出你得到的結(jié)論：

（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一角度a后（0°＜a＜90°），如圖（2），通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由：

（3）若BC=DE=m，正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度a（0°＜a＜360°）過程中，當AE為最大值時，求AF的值．

Answer 1

       解：（1）如圖（1），

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，

∴BD=CD=AD，

∵在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，

延長EA到BG于一點M，

∴∠GAM=∠DAE，

∴∠GMA=∠EDA=90°，

∴線段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，

如圖（2），延長EA分別交DG、BG于點M′、N′兩點，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，

∴∠ADB=90°，且BD=AD，

∵∠BDG=∠ADB﹣∠ADG=90°﹣∠ADG=∠ADE，

∵在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，

∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，

∴∠MNG+∠DGM=90°，

即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點D逆時針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大；

∵正方形DEFG在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，E點運動的圖形是以點D為圓心，DE為半徑的圓，

∴當正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點位于BC的延長線上（即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)270°）時，BG最大，如圖（3），

若BC=DE=m，則AD=，EF=m，

在Rt△AEF中，AF²=AE²+EF²=（AD+DE）²+EF²=m²，

∴AF=m，即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當AE為最大值時，AF=m．