Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上的一點，且滿足，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3，給出下列結論：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；④S△ADE=7．其中正確的是__________（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①利用垂徑定理可知，可知∠ADF=∠AED，結合公共角可證明△ADF∽△AED；②結合CF=2，且，可求得DF=6，且CG=DG，可求得FG=2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG=，且∠E=∠ADG，可判斷出③；④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比，可求出S△ADE=7.

①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴，DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED，故①正確；

②∵，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴GF=CG﹣CF=2，故②正確；

③∵AF=3，FG=2，

∴AG=，

∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=，

∴tan∠E=，故③錯誤；

④∵DF=DG+FG=6，AD==，

∴S△ADF=DFAG=×6×=3，

∵△ADF∽△AED，

∴，

∴，

∴S△AED=7，故④正確，

故答案為：①②④．