Question

如圖，直線y=x+2分別交x、y軸于點A、C，P是該直線上在第一象限內的一點，PB⊥x軸，B為垂足，S_△ABP=9．求：
（1）求點A、C的坐標；
（2）求反比例函數解析式；
（3）設點R與點P在同一個反比例函數的圖象上，且點R在直線PB的右側，作RT⊥x軸，T為垂足，當△BRT與△AOC相似時，求點R的坐標．

Answer 1

解：（1）設A（a，0），C（0，c）由題意得

解得：
∴A（-4，0），C（0，2）

（2）根據已知條件可得A點坐標為（-4，0），
C點坐標為（0，2），
即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x軸?OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴=即 =，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P點坐標為（2，3）；
設反比例函數的解析式為，
由題意得，解得k=6
∴反比例函數的解析式為；

（3）設R點的坐標為（x，y）
∵P點坐標為（2，3），
∴反比例函數解析式為y=，
當△BTR∽△AOC時，
∴，
即 =，
則有 ，
解得 ，
當△BRT∽△COA時
∴，
即 =
解得x₁=3，x₂=-1（不符合題意應舍去）
∴R的坐標為（）或（3，2）．
分析：（1）要求點A、C的坐標，因為點A、C分別在x、y軸上．可以設出A（a，0），C（0，c）代入直線的解析式可知．
（2）證明△AOC∽△ABP，利用線段比求出BP，AB的值從而可求出點P的坐標即可；
（2）設R點坐標為（x，y），求出反比例函數．又因為△BRT∽△AOC，利用線段比聯立方程組求出x，y的值．
點評：本題考查的是一次函數和反比例函數的綜合運用以及相似三角形的判定，待定系數法求函數的解析式．難度中上．