Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸與x軸相交于點M，在拋物線的對稱軸上找一點N，使得以M、N、B為頂點的三角形與△AOC相似，求出點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）先求出AO，CO，BM，然后點N在在x軸上方的拋物線上的對稱軸上分兩種情況①當△AOC∽△BMN時，②當△AOC∽△NMB時，得到比例式求出點N的坐標，再利用對稱性求出在x軸下方的物線線的對稱軸上的點N．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-1，0）和點B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4=0}\\{16a+4b-4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-3x-4，
（2）∵拋物線解析式為y=x²-3x-4與y軸相交于點C，
∴C（0，-4），拋物線對稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，0），OC=4，
∴MB=$\frac{5}{2}$，
設x軸上方拋物線的對稱軸上點N（$\frac{3}{2}$，n），
∴MN=n，
①當△AOC∽△BMN時，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{BM}{MN}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{\frac{2}{n}}$，
∴n=10，
∴N（$\frac{3}{2}$，10），
根據(jù)對稱性可知，在x軸下方的拋物線對稱軸上N（$\frac{3}{2}$，-10），也能使得以點M，N，B為頂點的三角形與△AOC相似；
②當△AOC∽△NMB時，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{NM}{MB}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{n}{\frac{5}{2}}$，
∴n=$\frac{5}{8}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），
∴根據(jù)對稱性可知，在x軸下方的拋物線對稱軸上N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$），也能使得以點M，N，B為頂點的三角形與△AOC相似；
綜上所述，符合題意的點N（$\frac{3}{2}$，10），（$\frac{3}{2}$，-10），（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{8}$），（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)，解本題的關鍵是分情況求出點N的坐標．