Question

【題目】如圖1，已知直線PQ∥MN，點(diǎn)A、B分別在直線MN、PQ上，射線AM繞點(diǎn)A以5°/秒的速度按順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與AN（或AM）重合后便立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B以2°/秒的速度按順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與BP重合后便停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后的射線分別記為AM'和BQ'．

（1）若射線BQ先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線AM第一次到達(dá)AN之前，射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒后AM'∥BQ'；

（2）若射線AM，BQ同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，在射線BQ停止轉(zhuǎn)動(dòng)之前，記射線AM'與BQ'交于點(diǎn)H，若∠AHB＝90°，求t的值；

（3）射線AM，BQ同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線AM第一次到達(dá)AN之前，記射線AM'與BQ'交于點(diǎn)K，過(guò)K作KC⊥AK交PQ于點(diǎn)C，如圖2，若∠BAN＝30°，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠BAK與∠BKC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝10s時(shí)，BQ′∥AM′；（2）滿足條件的t的值為30秒或90秒．（3）

【解析】

（1）當(dāng)∠MAM′＝∠QBQ′時(shí)，BQ′∥AM′，延長(zhǎng)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝90秒，分三種情形分別構(gòu)建方程求解即可；

（3）如圖3中，設(shè)∠KAB＝x，∠BKC＝y．設(shè)直線CK交MN于G．利用平行線的性質(zhì)，構(gòu)建方程組確定x與y之間的關(guān)系即可．

（1）由題意當(dāng)5t＝30+2t時(shí)，BQ′∥AM′，

∴t＝10s時(shí)，BQ′∥AM′．

（2）∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝＝90（秒），

分三種情形：①射線AM第一次到達(dá)AN之前：如圖1中，

當(dāng)∠NAM′+∠QBQ′＝90°時(shí)，∠AHB＝90°，

則有2t+180°﹣5t＝90°，

解得t＝30（秒），

②射線AM返回途中：如圖2中，

當(dāng)∠MAM′+∠PBQ′＝90°時(shí)，∠AHB＝90°，

則有180°﹣2t+180°﹣（5t﹣180°）＝90°，

解得t＝（秒）（不合題意舍棄），

③射線AM第二次到達(dá)AN之前，如圖2中，

當(dāng)∠MAM′+∠PBQ′＝90°時(shí)，∠AHB＝90°，

則有180°﹣2t+（5t﹣360°）＝90°，

解得t＝90（秒），

綜上所述，滿足條件的t的值為30秒或90秒．

（3）如圖3中，設(shè)∠KAB＝x，∠BKC＝y．設(shè)直線CK交MN于G．

∵AK⊥KC，

∴∠AKG＝90°，

∴∠KAG+∠AGK＝90°，

∵PQ∥MN，

∴∠AGK＝∠QCK，

∴180°﹣5t+2t+y＝90°，

∴t＝30°﹣y，

∵x＝30°﹣（180°﹣5t），

∴x＝5t﹣150°，

∴x＝5（30°﹣y）﹣150°，

∴x＝y，

∴∠KAB＝∠BKC．