Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，一次函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于O、C兩點(diǎn)，點(diǎn)T為該二次函數(shù)圖象上位于直線(xiàn)OC下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T作直線(xiàn)TM⊥OC，垂足為點(diǎn)M，且M在線(xiàn)段OC上（不與O、C重合），過(guò)點(diǎn)T作直線(xiàn)TN∥y軸交OC于點(diǎn)N．若在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， 為常數(shù)，試確定k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，3），頂點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，

則有 解得

∴二次函數(shù)y=x2﹣2x

（2）

解：由（1）得，B（1，﹣1），

∵A（﹣1，3），

∴直線(xiàn)AB解析式為y=﹣2x+1，AB=2 ，

設(shè)點(diǎn)Q（m，0），P（n，n2﹣2n）

∵以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

①當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則有 ，解得 或

∴P（1+ ，2）和（1﹣ ，2）

②當(dāng)AB為邊時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 解得 或

∴P（1+ ，4）或（1﹣ ，4）．

（3）

解：設(shè)T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，

∴可以設(shè)直線(xiàn)TM為y=﹣ x+b，則m2﹣2m=﹣ m+b，b=m2﹣2m+ ，

由 解得 ，

∴OM= = ，ON=m ，

∴ = ，

∴k= 時(shí)， = ．

∴當(dāng)k= 時(shí)，點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， 為常數(shù)．本題考查二次函數(shù)綜合題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題（2）①當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出方程組解決問(wèn)題．②當(dāng)AB為邊時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程組解決問(wèn)題．（3）設(shè)T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以設(shè)直線(xiàn)TM為y=﹣ x+b，則m2﹣2m=﹣ m+b，b=m2﹣2m+ ，求出點(diǎn)M、N坐標(biāo)，求出OM、ON，根據(jù) 列出等式，即可解決問(wèn)題．本題的關(guān)鍵是利用參數(shù)，方程組解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考?jí)狠S題．