分析 (1)四邊形EFDG是平行四邊形,理由為:如圖1,連接AM,由E、F、G、H分別為中點,利用利用中位線定理得到兩組對邊相等,即可得證;
(2)如圖1,過點M作MH⊥AB,交AB的延長線于點H,根據(jù)內錯角相等,兩直線平行,得到AC與BM平行,由三角形ACB與三角形MBN都為等腰直角三角形,由BC求出AB的長,進而求出BH的長,由AB+BH求出AH的長,在直角三角形AMH中,利用勾股定理求出AM的長,利用中位線定理求出FD的長即可;
(3)四邊形EFDG為正方形,理由為:如圖2,連接CN,AM,分別交EF、CN于點L與K,由CB-BM求出CM的長,得到CM=BN,再由一對直角相等,AC=BC,利用SAS得到三角形ACM與三角形CBN全等,利用全等三角形對應邊、對應角相等得到AM=CN,∠CAM=∠BCN,利用同角的余角相等,求出∠AKC為直角,利用兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形EFDG為平行四邊形,再由一個內角為直角,且鄰邊相等即可得證.
解答 解:(1)四邊形EFDG是平行四邊形,
證明:如圖1,連接AM,
∵E、F、D、G分別為AC、AN、MN、CM的中點,
∴FD=EG=$\frac{1}{2}$AM,EF=GD=$\frac{1}{2}$CN,
∴四邊形EFDG是平行四邊形;
(2)如圖1,過點M作MH⊥AB,交AB的延長線于點H,
∵∠ACB=∠MBN=90°,AC=BC=4,MB=NB=2,
∴AC∥BM,
∴∠MBH=∠CAB=45°,
∴AB=$\frac{BC}{sin45°}$=4$\sqrt{2}$,
∴BH=MH=MBsin45°=$\sqrt{2}$,
∴AH=AB+BH=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$,
在Rt△AMH中,由勾股定理得:AM=$\sqrt{A{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$=2$\sqrt{13}$,
則FD=$\frac{1}{2}$AM=$\sqrt{13}$;
(3)四邊形EFDG是正方形,
證明:如圖2,連接CN,AM,分別交EF、CN于點L與K,
由已知得:點M和點D分別落在BC與AB邊上,
∴CM=CB-BM=4-2=2,
∴CM=BN,
∵∠ACM=∠CBN=90°,AC=BC,
∴△ACM≌△CBN(SAS),
∴AM=CN,∠CAM=∠BCN,
∵∠ACK+∠KCM=90°,
∴∠ACK+∠CAK=90°,
在△ACK中,∠AKC=180°-(∠ACK+∠CAK)=180°-90°=90°,
由(1)可得EG∥AM∥FD,EF∥CN∥GD,
∴四邊形EFDG是平行四邊形,
∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°,
∴四邊形EFDG是矩形,
∵EG=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$CN=EF,
∴四邊形EFDG是正方形.
點評 此題考查了幾何變換綜合題,涉及的知識有:平行四邊形的判定與性質,正方形的判定,全等三角形的判定與性質,銳角三角函數(shù)定義,三角形中位線定理,熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵.
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A. | 10 | B. | 8 | C. | 2$\sqrt{7}$ | D. | 10或2$\sqrt{7}$ |
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