Question

【題目】已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．

（1）當(dāng)DG=2時(shí)，求△FCG的面積；

（2）設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積；

（3）判斷△FCG的面積能否等于1，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)4;(2)6-x;(3)見解析.

【解析】分析：(1)要求△FCG的面積,可以轉(zhuǎn)化到面積易求的三角形中,通過(guò)證明△DGH≌△CFG得出.(2)欲求△FCG的面積,由已知得CG的長(zhǎng)易求,只需求出GC邊的高,通過(guò)證明△AHE≌△MFG可得;
(3)若 ,由,得x=5,此時(shí),在△DGFH中,HG=.相應(yīng)地,在△AHE中,AE=>6,即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上.故不可能有.

詳解：（1）∵正方形ABCD中，AH=2，

∴DH=4，

∵DG=2，

∴HG=2，即菱形EFGH的邊長(zhǎng)為2．

在△AHE和△DGH中，

∵∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=2，

∴△AHE≌△DGH（HL），

∴∠AHE=∠DGH，

∵∠DGH+∠DHG=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，即菱形EFGH是正方形，

同理可以證明△DGH≌△CFG，

∴∠FCG=90°，即點(diǎn)F在BC邊上，同時(shí)可得CF=2，

從而S△FCG=×4×2=4．

（2）作FM⊥DC，M為垂足，連接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG=∠MGE，

∵HE∥GF，

∴∠HEG=∠FGE，

∴∠AEH=∠MGF．

在△AHE和△MFG中，

∴△AHE≌△MFG（AAS），

∴FM=HA=2，

即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2．

因此S△FCG=×2×（6﹣x）=6﹣x．

（3）若S△FCG=1，由（2）知S△FCG=6﹣x，得x=5，

∴在△DGH中，HG=，

∴在△AHE中，AE=，即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上．

∴不可能有S△FCG=1．

另法：∵點(diǎn)G在邊DC上，

∴菱形的邊長(zhǎng)至少為DH=4，

當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為4時(shí)：

∵點(diǎn)E在AB邊上且滿足AE=2，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E逐漸向右運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，HE的長(zhǎng)（即菱形的邊長(zhǎng)）將逐漸變大，

∴最大值為HE=2．

此時(shí)，DG=2，故0≤x≤2．

∵函數(shù)S△FCG=6﹣x的值隨著x的增大而減小，

∴當(dāng)x=2時(shí)，S△FCG取得最小值為6﹣2．

又∵6﹣2=1，

∴△FCG的面積不可能等于1．