Question

【題目】如圖，四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半抽上，點(diǎn)D是OA上的一點(diǎn)，OC=OD=4，OA=6，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）．動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線EF交線段BC于點(diǎn)F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤4）．

（1）點(diǎn)G的坐標(biāo)為(　 　，　 　）（用含t的代數(shù)式表示）

（2）連接OE、BG，當(dāng)t為何值時(shí)，以O、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△BFG相似？

（3）設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)時(shí)，點(diǎn)E、F、G都與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△ABG 的面積為時(shí)，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值，并直接寫出點(diǎn)G從出發(fā)到此時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)　 　（即線段AG的長(zhǎng)）．

Answer 1

【答案】（1）t，4﹣ t；（2）t=2或2 ﹣2（3）

【解析】分析：（1）依據(jù)△CDO和△CEF均為等腰直角三角形，CE=t，即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（2）依據(jù)∠OCE=∠BFG=45°，分兩種情況進(jìn)行討論：①若△OCE∽△BFG，則，②若△ECO∽△BFG，則，分別求得t的值即可；

（3）過(guò)點(diǎn)G作GH∥x軸，交AB于H，根據(jù)直線AB的解析式為y=-2x+12，根據(jù)G（t，4-t），將y=4-t代入y=-2x+12，可得H（4+，4-t），再根據(jù)△ABG 的面積為，即可得到t的值，進(jìn)而得到點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，），CG=．

詳解：（1）由題可得，△CDO和△CEF均為等腰直角三角形，

∵CE=t，

∴CF=EF=t，

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為CF+EF=t+t=t，縱坐標(biāo)為CO-EF=4-t，

∴G（t，4-t），

故答案為：t，4-t；

（2）∵CE=t，

∴EF=CF=t，F(xiàn)G=t，BF=4-t，

∵∠OCE=∠BFG=45°，

①若△OCE∽△BFG，則，

即，解得t=2；

②若△ECO∽△BFG，則，

即，解得t=2-2；

綜上所述，當(dāng)t=2或2-2時(shí)，以O、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△BFG相似；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH∥x軸，交AB于H，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則

，解得，

∴y=-2x+12，

∵G（t，4-t），將y=4-t代入y=-2x+12，可得x=4+，

∴H（4+，4-t），

∴GH=|4+-t|，

∴S△ABG=GH×BD=|4+-t|×4=2|4-t|，

又∵△ABG 的面積為，

∴2|4-t|=，

解得t=或t=（舍去），

此時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，），CG=．

故答案為：．