Question

【題目】已知拋物線與軸交于A，B兩點(A在B左邊)，與軸交于C點，頂點為P，OC=2AO.

(1)求與滿足的關系式；

(2)直線AD//BC，與拋物線交于另一點D，△ADP的面積為，求的值；

(3)在(2)的條件下，過(1，-1)的直線與拋物線交于M、N兩點，分別過M、N且與拋物線僅有一個公共點的兩條直線交于點G，求OG長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）將拋物線解析式進行因式分解，可求出A點坐標，得到OA長度，再由C點坐標得到OC長度，然后利用OC=2AO建立等量關系即可得到關系式；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的k，根據(jù)平行可知AD直線的斜率k與BC相等，可求出直線AD解析式，與拋物線聯(lián)立可求D點坐標，過P作PE⊥x軸交AD于點E，求出PE即可表示△ADP的面積，從而建立方程求解；

（3）為方便書寫，可設拋物線解析式為：，設，，過點M的切線解析式為，兩拋物線與切線聯(lián)立，由可求k，得到M、N的坐標滿足，將（1，-1）代入，推出G為直線上的一點，由垂線段最短，求出OG垂直于直線時的值即為最小值.

解：（1）

令y=0，，解得，

令x=0，則

∵， A在B左邊

∴A點坐標為（-m，0），B點坐標為（4m，0），C點坐標為（0，-4am2）

∴AO=m，OC=4am2

∵OC=2AO

∴4am2=2m

∴

（2）∵

∴C點坐標為（0，-2m）

設BC直線為，代入B（4m，0），C（0，-2m）得

，解得

∵AD∥BC，

∴設直線AD為，代入A（-m，0）得，，

∴

∴直線AD為

直線AD與拋物線聯(lián)立得，

，解得或

∴D點坐標為（5m，3m）

又∵

∴頂點P坐標為

如圖，過P作PE⊥x軸交AD于點E，則E點橫坐標為，代入直線AD得

∴PE=

∴S△ADP=

解得

∵m＞0

∴

∴.

（3）在（2）的條件下，可設拋物線解析式為：，

設，，過點M的切線解析式為，

將拋物線與切線解析式聯(lián)立得：

，整理得，

∵，

∴方程可整理為

∵只有一個交點，

∴

整理得即

解得

∴過M的切線為

同理可得過N的切線為

由此可知M、N的坐標滿足

將代入整理得

將（1，-1）代入得

在（2）的條件下，拋物線解析式為，即

∴

整理得

∴G點坐標滿足，即G為直線上的一點，

當OG垂直于直線時，OG最小，如圖所示，

直線與x軸交點H（5,0），與y軸交點F（0，）

∴OH=5，OF=，FH=

∵

∴

∴OG的最小值為.