Question

13．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O與邊AB，BC，AC分別相切于點E，F(xiàn)，G．求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 如圖連結(jié)OE，OF，OG．先由勾股定理求得AB=5，由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°，得到四邊形CEOF是正方形，根據(jù)切線長定理列方程求解即可．

解答 解：如圖連結(jié)OE，OF，OG．

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5．
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠OGC=∠OFC=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠OGC=∠OFC=∠C=90°．
∴四邊形ODCF是矩形．
又∵OG=OF，
∴四邊形CEOF是正方形．
∴CG=CF=r．
由切線長定理可知：AG=EA，BF=BE．
∴BF+AG=AE+BE=5．
∵BF+r+r+AG=7，
∴5+2r=7．
解得；r=1．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、切線的性質(zhì)、正方形的判定、切線長定義，證得四邊形CEOF是正方形是解題的關(guān)鍵．