Question

9．正方形ABCD中，∠EAF=45°．求證：EF=BF+DE．

Answer 1

分析 先由正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，則可把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，于是可判斷點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上，得到BF+BG=GF，然后證明△AEF≌△AGF得到EF=FG，于是有EF=BF+BG=BF+DE．

解答 證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，
∴把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，如圖，
∴AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，
∴點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上，
∴BF+BG=GF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=45°，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∴EF=BF+BG=BF+DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．