Question

已知半徑為6的⊙O₁與半徑為4的⊙O₂相交于點(diǎn)P、Q，且∠O₁PO₂=120°，點(diǎn)A為⊙O₁上異于點(diǎn)P、Q的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與⊙O₂交于點(diǎn)B，直線O₁A與直線O₂B交于點(diǎn)M．
（1）如圖1，求∠AMB的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在⊙O₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在∠AMB的度數(shù)不同于（1）中結(jié)論的情況？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出一種該情況的示意圖，并求出∠AMB的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)?jiān)趫D2中再畫出一個(gè)符合題意的圖形，并證明∠AMB的度數(shù)同于（1）中結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在⊙O₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△APO₁與△BPO₂相似，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由等邊對(duì)等角得∠A=∠APO₁與∠PBO₂=∠BPO₂，又由∠O₁PO₂=120°，可得∠A+∠PBO₂=60°，則可求得∠AMB的度數(shù)；
（2）根據(jù)題意作圖，由∠A=∠APO₁與∠B=∠BPO₂，可得∠APO₁+∠BPO₂=120°，又由∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，則可求得∠AMB的度數(shù)；
（3）分兩種情況分析：當(dāng)P在A、B之間時(shí)，∠APO₁=∠BPO₂=30°，與當(dāng)P不在A、B之間時(shí)，∠APO₁=∠BPO₂=60°，分析求解即可，注意不要漏解．

解答：解：（1）∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∵AB是直線，∠O₁PO₂=120°，
∴∠APO₁+∠O₁PO₂+∠BPO₂=180°，
∴∠APO₁+∠BPO₂=60°，即∠A+∠PBO₂=60°，
∴∠O₁MO₂=180°-60°=120°；
即∠AMB=120°；

（2）存在，如圖所示，
∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∴∠APO₁+∠BPO₂=120°，
∵∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，
∴∠M=180°-∠BPO₂-∠A
=180°-∠BPO₂-∠APO₁=180°-120°=60°；

（3）∵△APO₁與△BPO₂相似，且△APO₁與△BPO₂都是等腰三角形，
∴底角∠APO₁=∠BPO₂，
情況一：當(dāng)P在A、B之間時(shí)，∠APO₁=∠BPO₂=30°，
作O₁H⊥AB，O₂D⊥AB，
∴AP=2HP，BP=2PD，
∵O₁P=6，O_，2P=4，
∴HP=3

3

，DP=2

3

，
∴AB=10

3

．
情況二：當(dāng)P不在A、B之間時(shí)，∠APO₁=∠BPO₂=60°，
∴PA=O₁A=6，PB=O₂B=4，
∴AB=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題圖形較復(fù)雜，注意合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．