Question

【題目】如圖，已知AM//BN，∠A=600.點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D.

(1)①∠ABN的度數(shù)是 ；②∵AM //BN，∴∠ACB=∠ ；

(2)求∠CBD的度數(shù)；

(3)當(dāng)點P運動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律.

(4)當(dāng)點P運動到使∠ACB=∠ABD時，∠ABC的度數(shù)是 .

Answer 1

【答案】（1）①120°；②∠CBN；（2）60°；（3）答案見解析；（4）30°.

【解析】

(1)①根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求得答案；

②根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可得答案；

(2)由(1)知∠ABP+∠PBN=120°，繼而結(jié)合角平分線的定義可得2∠CBP+2∠DBP=120°，進而可求得答案；

(3)由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據(jù)BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB：∠ADB=2：1；

(4)由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，當(dāng)∠ACB=∠ABD時有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根據(jù)∠ABN=120°，∠CBD=60°可得答案．

(1)①∵AM∥BN，∠A=60°，

∴∠A+∠ABN=180°，

∴∠ABN=120°；

②∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

故答案為：①120°；②∠CBN；

(2)∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A=180°，

∴∠ABN=180°-60°=120°，

∴∠ABP+∠PBN=120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，

∴2∠CBP+2∠DBP=120°，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；

(3)不變，∠APB：∠ADB=2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB=2：1；

(4)∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

當(dāng)∠ACB=∠ABD時，則有∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，

∴∠ABC=∠DBN，

由(1)可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，

∴∠ABC+∠DBN=60°，

∴∠ABC=30°，

故答案為：30°.