Question

【題目】已知點O是正方形ABCD對角線BD的中點．
（1）如圖1，若點E是OD的中點，點F是AB上一點，且使得∠CEF=90°，過點E作ME∥AD，交AB于點M，交CD于點N．

①∠AEM=∠FEM； ②點F是AB的中點；
（2）如圖2，若點E是OD上一點，點F是AB上一點，且使 = = ，請判斷△EFC的形狀，并說明理由；

（3）如圖3，若E是OD上的動點（不與O，D重合），連接CE，過E點作EF⊥CE，交AB于點F，當 = 時，請猜想 的值（請直接寫出結論）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，

∵ME∥AD，

∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°，

∴△BME是等腰直角三角形，四邊形BCNM是矩形，

∴BM=EM，BM=CN，

∴EM=CN，

在Rt△AME和Rt△ENC中， ，

∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL），

∴∠AEM=∠ECN，

∵∠CEF=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM=∠ECN，

∴∠AEM=∠FEM；

②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM，

∴∠EAF=∠EFA，

∴AE=FE，

∵ME⊥AF，

∴AM=FM，

∴AF=2AM，

∵點E是OD的中點，O是BD的中點，

∴ = ，

∵ME∥AD，

∴ = ，

∴ = ，

∴點F是AB的中點；

（2）解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：

過點E作ME∥AD，交AB于點M，交CD于點N．如圖所示：

同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，

∴∠AEM=∠ECN，

∵ = ，O是DB的中點，

∴ = ，

∵ME∥AD，

∴ = ，

∵ = ，

∴AF=2AM，即M是AF的中點，

∵ME⊥AB，

∴AE=FE，

∴∠AEM=∠FEM，F(xiàn)E=CE，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∴∠CEF=90°，

∴△EFC是等腰直角三角形；

（3）解：當 = 時， = ；理由同（1）．

【解析】（1）由正方形的對稱性可知AE=CE，再結合其他條件可證出Rt△AME≌Rt△ENC，可得∠AEM=∠ECN，再由同角的余角相等證出結論；由平行線分線段成比例定理可得,DN=AM,AF=2AM,即AF=AB,即點F是AB的中點；（2）模仿第（1）題的圖形，缺少過E的MN水平線，因此需要作這條輔助線，同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，再模仿（1）的方法，運用平行線分線段成比例定理，得出結論；（3）類比（1）.,二者存在2倍關系，可猜想,證法同（1），需作水平的MN線.
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的性質(對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)，還要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）)的相關知識才是答題的關鍵．