Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋x＋4的對稱軸是直線x＝3，且與x軸相交于A，B兩點(B點在A點右側)，與y軸交于C點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求A，B兩點的坐標；

(3)若M是拋物線上B，C兩點之間的一個動點(不與B，C重合)，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN＝3時，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x＋4； (2)點A的坐標為(－2,0)，點B的坐標為(8,0)；(3)點M的坐標為(2,6)或(6,4).

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數的性質即可求出a值，進而可得出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征，即可求出點A、B的坐標；

（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由點B、C的坐標，利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，設點M的坐標為（m，-m2+m+4），則點N的坐標為（m，-m+4），進而可得出MN=|-m2+2m|，結合MN=3即可得出關于m的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結論．

(1)∵拋物線y＝ax2＋x＋4的對稱軸是直線x＝3，

∴，解得：a＝－，

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4

(2)當y＝0時，－ x2＋x＋4＝0，解得：x1＝－2，x2＝8，

∴點A的坐標為(－2,0)，點B的坐標為(8,0)

(3)當x＝0時，y＝－x2＋x＋4＝4，

∴點C的坐標為(0,4)．設直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)．

將B(8,0)，C(0,4)代入y＝kx＋b，得，解得：

∴直線BC的解析式為y＝－x＋4

設點M的坐標為，則點N的坐標為，其中0<m<8

∴MN＝，

又∵MN＝3，

∴－m2＋2m＝3，解得：m1＝2，m2＝6，

∴點M的坐標為(2,6)或(6,4).